R´eduction des endomorphismes 2 `eme ann´ee Licence de Math´ematiques
تحميل دروس الجبر 3
السلام عليكمورحمة الله تعالي وبركاته نقدم لكم
في هذهالتدوية دروس في الجبر 3
للسنة ثانية رياضيات
R´eduction des endomorphismes 2 `eme ann´ee Licence de Math´ematiques
 |
R´eduction des endomorphismes 2 `eme ann´ee Licence de Math´ematiques |
------------
Pr´eface
Ce polycopi´e est issu du cours d’Alg`ebre 3 de la 2`eme ann´ee Licence de
Math´ematiques que j’ai le privil`ege de diriger depuis l’ann´ee universitaire
2012-2013.
Le premier et le second chapitre du polycopi´e traitent les valeurs propres,
les espaces propres et la diagonalisabilit´e des endomorphismes en dimension
finie. Ce sont des notions simples mais tr`es importantes que l’´etudiant doit
maitriser parfaitement.
Tout au long de ce polycopi´e, nous avons mis en garde l’´etudiant sur l’importance du calcul de la puissance k
`eme d’une matrice carr´e. C’est en quelque
sorte notre but locomotif pour la recherche d’autres types de r´eductions et
d’autres techniques de calcul matriciel.
Au troisi`eme chapitre, nous introduisons la trigonalisation des endomorphismes. Un th´eor`eme fondamental affirme que toute matrice carr´ee `a coefficients complexes est trigonalisable. C’est aussi la trigonalisation que nous
utilisons pour d´emontrer l’important th´eor`eme de Cayley-Hamilton du quatri`eme chapitre. La trigonalisation permet aussi de calculer la puissance k
`eme
d’une matrice carr´ee lorsque celle-ci poss`ede une unique valeur propre et ce
en se servant de la formule du binˆome matricielle. Bien que la trigonalisation
ne r`egle, que dans un cas particulier, le probl`eme du calcul de la puissance
k
`eme d’un endomorphisme (resp. d’une matrice carr´ee), ceci s’av`ere suffisant
grˆace `a l’id´ee qui consiste `a restreindre l’endomorphisme en question `a des
espaces particuliers, appel´es espaces caract´eristiques et ´etudi´es au cinqui`eme
chapitre. Par ailleurs, l’id´ee de se servir de la formule du binˆome matricielle
pour calculer la puissance k
`eme d’une matrice carr´ee trouvera son succ`es total
avec la d´ecomposition de Dunford d’un endomorphisme, ce qui est propos´e
sous forme d’exercice au 5`eme chapitre.
Au quatri`eme chapitre, nous ´etudions les polynˆomes annulateurs d’un endomorphisme et leur lien avec les valeurs propres. Le tr`es important th´eor`eme
de Cayley-Hamilton est ´etudi´e et d´emontr´e par le moyen de la trigonalisation. Nous introduisons aussi la notion de polynˆome minimal (qui est essentiellement le polynˆome de plus petit degr´e qui annule l’endomorphisme en
question), puis nous donnons la m´ethode pour le d´eterminer dans des cas
concrets, qui se sert justement du th´eor`eme de Cayley-Hamilton. Nous verrons ´egalement que la forme du polynˆome minimal (contrairement `a celle
du polynˆome caract´eristique) nous renseigne imm´ediatement sur la diagonalisabilit´e de l’endomorphisme en question. L’une des choses importantes
que l’´etudiant d´ecouvrira aussi dans ce chapitre est la possibilit´e de calculer
la puissance k
`eme d’une matrice carr´ee, sans lui effectuer aucune r´eduction
pr´ealable ; on utilise plutˆot un polynˆome annulateur. Notons enfin que la notion de “polynˆomes annulateurs” est valable mˆeme pour des endomorphismes
sur des espaces vectoriels de dimensions infinies et cette notion est l’une des
clefs de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes en dimension infinie.
Bien entendu, cette th´eorie sort du programme r´eserv´e au module d’Alg`ebre
3 et par cons´equent, nous l’avons ´ecart´ee de ce polycopi´e.
Au cinqui`eme chapitre, nous ´etudions les espaces caract´eristiques d’un
endomorphisme. Grossi`erement, ce sont des espaces vectoriels stables par
l’endomorphisme en question et dont les endomorphismes restreints `a chacun
d’entre eux ont une unique valeur propre. Nous utilisons ensuite ces espaces
caract´eristiques pour un nouveau type de r´eduction que l’on appelle diagonalisation par blocs triangulaires et qui r´esout d´efinitivement le probl`eme du
calcul de la puissance k
`eme d’un endomorphisme en dimension finie (resp.
d’une matrice carr´ee).
Au sixi`eme chapitre, nous ´etudions le dernier type de r´eduction que l’on
appelle jordanisation. C’est la r´eduction la plus technique mais elle offre
l’avantage d’une maˆıtrise parfaite de l’endomorphisme en question. Outre le
calcul de la puissance k
`eme d’un endomorphisme et la r´esolution des syst`emes
lin´eaires d’´equations diff´erentielles, la jordanisation permet de classifier les
matrices carr´ees d’un mˆeme ordre via la relation d’´equivalence “semblable” (deux matrices carr´ees de mˆeme ordre sont dites semblables si elles
repr´esentent un mˆeme endomorphisme relativement `a deux bases diff´erentes
d’un certain espace vectoriel).
Au septi`eme et dernier chapitre, nous montrons `a travers des exemples
comment appliquer les connaissances acquises aux chapitres pr´ec´edents pour
r´esoudre des probl`emes sur les suites r´ecurrentes ainsi que des probl`emes de
r´esolutions des syst`emes lin´eaires d’´equations diff´erentielles.
Notons enfin que chaque chapitre est suivi d’une multitude d’exercices
qui permettent `a l’´etudiant de consolider ses connaissances acquises d’un
chapitre donn´e avant qu’il passe au chapitre suivant.
التحميل من هنا
محتوي موقعنا
تخصصات الإعلام الآلي في الجزائر
التحليل الرياضي سنة أولى جامعي pdf
تمارين الجبر للسنة الأولى جامعي PDF
دروس التحليل سنة أولى جامعي رياضيات وإعلام آلي بالعربية
تحميل امتحانات اولى جامعي رياضيات واعلام آلي
دروس أولى جامعي MI
كتاب بابا حامد في الجبر PDF
كتب الجبر أولى جامعي
تمارين الجبر للسنة الأولى جامعي PDF
كتاب بابا حامد في الجبر PDF
التحليل الرياضي سنة أولى جامعي pdf
دروس أولى جامعي MI
تحميل امتحانات اولى جامعي رياضيات واعلام آلي
دروس MI
دروس التحليل سنة أولى جامعي رياضيات وإعلام آلي بالعربية
دروس الرياضيات أولى جامعي MI بالعربية PDF
تحميل كتاب كتاب لغة C الشامل pdf
امتحانات pdf السداسي الاول رياضيات واعلام آلي
تخصص رياضيات واعلام آلي فرص العمل
دروس إعلام آلي سنة اولى جامعي PDF
تمارين الجبر للسنة الأولى جامعي PDF
تخصص إعلام آلي
دروس رياضيات واعلام الي سنة أولى جامعي
دروس التحليل سنة أولى جامعي رياضيات وإعلام آلي
دروس structure machine بالعربية
دروس أولى جامعي MI
دروس الرياضيات والاعلام الآلي للسنة اولى جامعي
دروس الجامعة السنة الأولى شعبة الرياضيات
تمارين الجبر للسنة الأولى جامعي PDF
Structure machine
دروس التحليل سنة أولى جامعي رياضيات وإعلام آلي بالعربية
دروس MI
تعليقات
إرسال تعليق